5.2. Аутентификация и классификация как эквивалентные задачи

Практический опыт показывает, что в ряде случаев для решения простой задачи необходимо ее усложнить — рассматривать более общую постановку. Можно вспомнить задачу квадратуры круга, бесплодность решения которой оказалась тривиальным следствием кардинально разной природы иррациональных и трансцендентных чисел. Или, многолетние поиски аналитических методов нахождения корней многочленов целой степени, невозможность такого решения для уравнений выше четвертой степени вытекает из теории групп. В математике настолько часто, что это кажется неслучайным, справедливо: — «Для того, чтобы решить задачу необходимо выйти на уровень выше».

Исходя из такой посылки, кажется небесполезным переход от анализа аутентификации одного заданного документа к исследованию аутентификации всех документов из заданного множества — к классификации документов. Отнесение некоего объекта к определенному классу представляет собой (если класс называть — «автор», а объект — «документ») аутентификацию автора этого документа. Но, в традиционном толковании, задачи классификации и аутентификации определены на разном предметном поле: множество объектов разбивается на множество классов, тогда как при аутентификации одному документу ставится в соответствие единственный автор.

Конечно, это не императив, можно привести большое число примеров, когда усложнение задачи, переход к более высокому уровню обобщения, не компенсируется общностью методов. Корни уравнения 10-й степени х10 = 1024 очевидны, +2 и –2 кратностью пять, хотя в общем случае уравнения 10-й степени аналитического решения не имеют. Тем не менее, в свете интерпретации электронной среды как пространства чисел и функций, возможность сведения задачи аутентификации к классификации игнорировать ошибочно.

Отображение множества на множество, согласно предыдущему разделу, есть функция, тогда как для пары чисел функциональная зависимость бессмысленна. Возникает дополнительная возможность использования не только свойств чисел, но и функций. Число — это статика, тогда как отображение — динамика. В какой-то мере масштаб расширения возможностей можно сопоставить с введением дифференцирования и интегрирования при описании процессов и явлений. При решении задачи классификации потенциально возможно применение несравнимо более мощных математических методов, чем при решении традиционной задаче аутентификации. Каноническая постановка задачи классификации определяется следующим образом:

Классификация данного множества X есть разбиение его элементов x на взаимно непересекающиеся подмножества (классы) Xy,     y, z Î Y.

Множество Х классифицируемых элементов x Î X и множество классов y Î Y заданы. В соответствии с предыдущим можно полагать, что это числовые множества. На множестве Х (для всякого x Î X) определяется отображение — признак эквивалентности i(x), значение (наблюдение или измерение) которой для данного x позволяет решить, к какому подмножеству (классу) Xy должно его отнести. Говорят, что на X определено отношение эквивалентности i. Под обозначением «a ~ b» понимается, что элементы a и b эквивалентны, принадлежат одному классу. Отношение эквивалентности i нельзя выбрать произвольно, должно обеспечиваться выполнение следующих требований (аксиом) [67]:

·        аксиома рефлексивности — a ~ a для всякого элемента a Î X;

·        аксиома симметричности — если a, b Î X и a ~ b, то b ~ a;

·        аксиома транзитивности — если a, b, c Î X  и a ~ b, b ~ c, тоc.

Эти условия необходимы и достаточны для того, чтобы отношение i (признак!) позволяло разбить множество X на классы Xу;

Для того, чтобы два элемента х1 и х2 множества X входили бы в одно и то же подмножество Xy, должно быть основание: они необходимо должны иметь в каком-то смысле одинаковый признак i, являться, в этом контексте, эквивалентными. Это не означает, что обязательно i(х1) = i(х2), достаточна принадлежность значений их признаков эквивалентности к заданному подмножеству Iy чисел множества I. Например: х1 х2, если i(х1), i(х2) < Iу; легко видеть, что все аксиомы эквивалентности здесь выполняются. Точно также должны быть основания и для отнесения элементов к разным классам. Для этого необходимо, чтобы их признаки эквивалентности i отличались, иначе элементы были бы в одном классе, что противоречит исходной посылке.

Итак, разбиение множества X на классы Xу — классификация X, сводится к:

·        заданию на множестве X функции i(x) с областью определения х Î X и областью значений i Î I, такой, что

·        вычислению признака i(x) для каждого элемента х — нахождению пары = áхi(x)ñ;

·        нахождению подмножества Iу, такого, что второй элемент пары d, признак i(x) Î Iу , и отнесению элемента х к классу Xy.

Рассмотренная задача характеризуется одним признаком эквивалентности i(x), будем называть ее, при необходимости конкретизации, одномерной классификацией. Задача очевидным образом обобщается на случай нескольких признаков эквивалентности, и тогда можно говорить о многомерной классификации. Формально подобная детализация избыточна и рассматривается здесь только для обоснования в дальнейшем направлений практического решения. Действительно, в случае одномерной классификации пространство Х отображается на одномерное пространство (множество классов) Y, точка которого y ÎY есть одно число. Тогда как при m-мерной классификации множество Y есть многомерное пространство, каждая точка которого y ÎY есть совокупность m чисел.

На множестве x Î X задается m функций эквивалентности i1(x), i2(x), …, im(x), области значений которых есть, соответственно, i1i2, …, im. Для каждого x вычисляется m-мерный признак эквивалентности i = |i1i2, …, im|, упорядоченное множество частных признаков. Значение i является основанием для отнесения данного x к одному из классов i — прямого произведения множеств i = i1´i2´… ´im. Если разрядность любого частного признака эквивалентности ограничена, то совокупность |i1i2, …, im| m чисел можно записать как их конкатенацию в виде одного числа i = i1||i2|| … ||im. Таким образом, многомерная классификация сводится к одномерной.

В зависимости от числа градаций каждого из признаков эквивалентности, их взаимообусловленности, мощности подмножеств, обладающих каждым из признаков, и пр., конкретная реализация многомерной классификации может иметь те или иные преимущества. Однако сущность необходимо одинакова — это каноническая задача разбиения множества на подмножества.

Пусть теперь классифицируется множество D, каждый элемент которого d Î D есть пара чисел = áхi(x)ñ. Если называть D документом, ΠX — текстом документа d, а признак эквивалентности i(x) — идентификатором автора y ΠY документа d, то классификация D сводится к установлению для каждого «документа» х из Х «автора» у из Y. Множества X и Y — это разные множества, а процедура классификации есть процедура, объективная по определению — в силу чисто математических методов решения. Следовательно, определение класса элемента х есть объективное подтверждение содержащейся в документе d информации i(x) ΠIу об авторе у. Решается задача аутентификации «причастного» к х согласно признаку эквивалентности i(x) элемента у, лежащего вне Х. Столь же очевидно и обратное рассуждение, показывающее, что возможность аутентификации любого х позволяет классифицировать множество Х.

Так как числа х и i(x) принадлежат разным множествам, то они «отделимы» друг от друга: одно из чисел пары = áхi(x)ñ может быть искажено. Физически это означает, что документ = áхi(x)ñ заменяется на поддельный

Задачи аутентификации и классификации сводятся к эквивалентным постановкам. Но это означает, что в принципиальных положениях должны совпадать и методы решения. А поскольку при классификации не обойтись без задания функций (корректнее, отображений) эквивалентности, то и при аутентификации неизбежен выход в пространство функций. И если на практике это не очевидно в явном виде, то всегда может быть установлено при более тщательном анализе любой успешной процедуры аутентификации.

<<Назад   Оглавление   Далее>>